Xperia Z1に限らずAndroid 4.4ではSDカードへの自由な書き込みが原則的にはできなくなりました。
これは、こちらに詳しいことが書かれていますが、外部ストレージに保存したファイルを保護できる機能が少ない問題や、
アプリをアンインストールしてもSDカードに保存された設定ファイルなどが残ってしまう問題を回避するための変更です。

しかし、ユーザー側からすれば、使い慣れたアプリでSDカードへ書き込めないのはとても不便です。

この書き込み制限は/system/etc/permissions/platform.xmlの表記が変わっただけなので、これを編集すればこれまで通りに使えるようになります。
※要root
Xposedフレームワークを使う方法もあります。

・platform.xmlを書き換える方法
/system/etc/permissions/platform.xmlを開いて

    <permission name="android.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE" >
        <group gid="sdcard_r" />
        <group gid="sdcard_rw" />
    </permission>

を

    <permission name="android.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE" >
<group gid="media_rw" />
        <group gid="sdcard_r" />
        <group gid="sdcard_rw" />
    </permission>

という風に変更してください。
再起動すると4.3以前と同じようにSDカードに書き込めるようになります。

・Xposedフレームワークを使用する方法
PlayストアからHandleExternalStorageをインストールし、Xposed Installerの「モジュール」でチェックを入れて再起動してください。
これで4.3以前と同じようにSDカードに書き込めるようになります。